2.1 Силовое взаимодействие точка-поверхность

Элемент описывает контактное взаимодействие между точкой и поверхностью. Поверхность является ориентируемой. Она имеет наружную и внутреннюю стороны. Нормаль поверхности в каждой ее точке направлена наружу. Силовое взаимодействие определяется в предположении, что поверхность является наружной поверхностью некоторого тела (звена). Материал этого тела расположен со стороны внутренней поверхности. Силовое взаимодействие возникает при внедрении точки внутрь поверхности, то есть, если точка находится в материале тела, ограниченного поверхностью. На точку действуют следующие силы.

− Сила упругой нормальной реакции со стороны поверхности, ее направление совпадает с направлением нормали поверхности в окрестности внедрения точки.

− Сила нормального демпфирования, вектор силы коллинеарен вектору силы нормальной реакции.

− Сила трения, которая возникает при движении точки вдоль поверхности.

Схематический вид элемента представлен на рис. 1.

Рис. 1. Силовое взаимодействие точка-поверхность

Силовое взаимодействие происходит только с изображаемой частью поверхности.

Точка и поверхность обязательно должны быть прикреплены к звеньям механической системы.

Синтаксис метода создания

contactPS (Point, Surface, C_F, K_fr=…, F_fr=…, C_r=…, F_d=…, D_max=…, work=..., color=..., visible=...)

Обязательные позиционные параметры метода

point Point

Точка силового взаимодействия.

surface Surface

Поверхность силового взаимодействия.

C_F

Параметр, определяющий нормальную контактную жесткость силового взаимодействия. Он может иметь тип scalar или function.

scalar C_F [force / length]

Коэффициент нормальной контактной жесткости взаимодействия.

function C_F [force]<[length]>

Функция значения силы упругой нормальной реакции взаимодействия в зависимости от глубины контакта.

Необязательные именованные параметры метода

K_fr = scalar [-]

Коэффициент силы трения, действующей в контакте при относительном движении точки и поверхности в направлении перпендикулярном вектору местной нормали поверхности. По умолчанию K_fr = 0.

F_fr = function [force]<[force], [length / time]>

Функция силы трения, действующей в контакте при относительном движении точки и поверхности в направлении перпендикулярном вектору местной нормали поверхности. Функция зависит от двух аргументов – полной силы нормальной реакции в контакте и скорости, перпендикулярной вектору местной нормали поверхности. При значении второго аргумента 0[m/s], значение функции должно быть равным 0[N].

Параметры K_fr и F_fr несовместны, поэтому их одновременное задание недопустимо. В случае, если ни один из этих параметров не задан пользователем, используется значение K_fr принятое по умолчанию.

C_r = scalar [-]

Коэффициент восстановления скорости. Характеризует упругопластические свойства контактного взаимодействия. Коэффициент равен 0 при чисто пластическом взаимодействии точки и поверхности и равен 1 при чисто упругом взаимодействии. Для промежуточного случая его значение находится в пределах 0 < C_r < 1. По умолчанию C_r = 1, что соответствует чисто упругому взаимодействию.

F_d = function [-]<[length / time]>

Функция относительной силы нормального демпфирования. Сила нормального демпфирования используется для задания упругопластических свойств контактного взаимодействия. Аргументом функции является составляющая скорости по вектору местной нормали поверхности. При значении аргумента 0[m/s], значение функции должно быть равным 0.

Параметры C_r и F_d несовместны, поэтому их одновременное задание недопустимо. В случае, если ни один из этих параметров не задан пользователем, используется значение C_r принятое по умолчанию.

D_max = scalar [length]

Предельная глубина контакта. При глубине контакта, превышающей значение этого параметра, силы взаимодействия между точкой и поверхностью обнуляются. По умолчанию D_max = 1 [m].

work =..., color =..., visible =...

Параметры являются общими для всех методов создания силовых элементов и описаны в пункте «Необязательные именованные параметры всех методов создания» общей части раздела «Силовой элемент (force)» главы «Основные объекты».

Описание

При расчете силового взаимодействия проверяется наличие контакта точки Point и поверхности Surface. Для этого ищется ближайшая к точке Point точка

на поверхности Surface. Если точка

не принадлежит изображаемой части поверхности Surface, то считается, что контакта нет. Далее определяется нормаль

к поверхности в точке

. Если вектор, направленный от точки

к точке Point, противоположен вектору

и расстояние между этими точками не превосходит предельной глубины контакта

, то считается, что контакт есть. При наличии контакта определяются следующие параметры, которые используются для вычисления сил.

– нормаль поверхности в точке

– глубина контакта – расстояние между точками Point и

;

– значение проекции скорости движения точки Point относительно поверхности Surface на вектор

– проекция скорости движения точки Point относительно поверхности Surface на плоскость перпендикулярную вектору

- абсолютная величина вектора

Расчетная схема силового элемента представлена на рис. 2. Вектор силы, действующей на точку Point, равен сумме трех составляющих:

где

- вектор силы упругой нормальной реакции;

- вектор силы нормального демпфирования;

- вектор силы трения.

Момент, действующий на точку Point, равен нулю.

Рис. 2. Расчетная схема силового элемента

Сила упругой нормальной реакции направлена по вектору

. Ее значение определяется следующим образом.

− Если задан коэффициент нормальной контактной жесткости взаимодействия, то:

где

– коэффициент нормальной контактной жесткости взаимодействия;

– глубина контакта.

− Если задана функция значения силы упругой нормальной реакции взаимодействия в зависимости от глубины контакта, то:

где

– функция значения силы упругой нормальной реакции взаимодействия в зависимости от глубины контакта;

– глубина контакта.

Контактное взаимодействие рассматривается как соударение двух звеньев. С одним из звеньев связана поверхность, с другим точка. Соударение состоит из двух фаз: фазы сжатия (

, происходит сжатие материала в области контакта, глубина контакта увеличивается) и фазы восстановления (

, деформированный в области контакта материал восстанавливает свое исходное состояние, глубина контакта уменьшается).

Во время фазы сжатия кинетическая энергия взаимодействующих звеньев переходит в потенциальную энергию силы упругой нормальной реакции. Во время фазы восстановления кинетическая энергия частично восстанавливается. Неполное восстановление кинетической энергии в результате остаточных деформаций и нагревания определяется в данной модели контактного взаимодействия действием силы нормального демпфирования.

Если задан коэффициент восстановления скорости

, то

где

– функция относительной силы нормального демпфирования (рис. 3), которая определяется следующим выражением:

где

– значение относительной предельной силы нормального демпфирования на фазе восстановления;

– значение относительной предельной силы нормального демпфирования на фазе сжатия.

Здесь

– коэффициент восстановления скорости,

;

– коэффициент линейного перехода между режимами демпфирования (на фазе сжатия и фазе восстановления);

– коэффициент относительного поглощения энергии на фазе сжатия,

Рис. 3. Функция относительной силы нормального демпфирования,

принятая при задании

(коэффициента восстановления скорости)

В программном комплексе принято

Если задана функция относительной силы нормального демпфирования

, то:

Пользователь может задать свою функцию относительной силы нормального демпфирования. Например, можно задать функцию, аналогичную функции

, принятой при задании коэффициента восстановления скорости, но с другими коэффициентами

Пример такого задания функции приведен ниже.

Пример задания пользователем функции относительной силы нормального демпфирования

// Cr1 - коэффициент восстановления скорости;

// kD1 - коэффициент линейного перехода между режимами

// демпфирования;

// kE1 - относительное поглощение энергии на прямом ходе

scalar Cr1 = 0.4;

scalar kD1 = 1[s/m];

scalar kE1 = 0.25;

// fd(v[m/s],Cr[],kD[s/m],kE[]) - функция относительной силы

// нормального демпфирования в зависимости от коэффициентов // Cr, kD.kE

function fd(v[m/s],Cr[],kD[s/m],kE[])=

#kD*#v < (#Cr*#Cr-1)*(1-#kE)/(1-#kE+#Cr*#Cr*#kE) ->

(#Cr*#Cr-1)*(1-#kE)/(1-#kE+#Cr*#Cr*#kE),

#kD*#v > (1-#Cr*#Cr)*#kE/(1-#kE+#Cr*#Cr*#kE) ->

(1-#Cr*#Cr)*#kE/(1-#kE+#Cr*#Cr*#kE),

#kD*#v;

// fd_1(v[m/s]) - функция относительной силы нормального

// демпфирования с заданными коэффициентами Cr=Cr1, kD=kD1,

// kE=kE1"

function fd_1(v[m/s]) = fd(#v,Cr1,kD1,kE1);

На рис. 4 изображены графики функции относительной силы нормального демпфирования

, принятой при задании коэффициента восстановления скорости, и функции fd_1, заданной в примере выше.

Рис. 4. Пример функции относительной силы нормального демпфирования,

заданной пользователем

Направление вектора силы трения противоположно вектору

. Если задан коэффициент трения

, то

где

– заданный коэффициент трения;

– значение полной силы нормальной реакции в контакте,

;

– функция силы трения (рис. 5), которая определяется следующим выражением:

где

– коэффициент линейного перехода между покоем (при этом считается, что сила трения равна нулю) и полным включением силы трения;

. В программном комплексе принято

Рис. 5. Функция силы трения, принятая при задании коэффициента трения

Если задана функция силы трения

, то:

Пользователь может задать свою функцию силы трения. Например, можно задать функцию, аналогичную функции

, принятой при задании коэффициента трения, но с другим коэффициентом

. Или можно задать функцию, в которой переход между состояниями покоя и полным включением силы трения описывается не линейным, а синусоидальным законом. Пример такого задания функций силы трения приведен ниже.

Пример задания функций сил трения пользователем

// k_fr - коэффициент трения

// kT1 – коэффициент линейного перехода между покоем и полным

// включением силы трения

scalar k_fr = 0.1;

scalar kT1 = 10[s/m];

// fr_line(N[N],v[m/s],kT[s/m]) - линейная функция силы трения в

// зависимости от коэффициента kT

function fr_line(N[N],v[m/s],kT[s/m]) =

#v*#kT>1 ->

k_fr*#N,

#v*#kT*k_fr*#N;

// fr_line_1(N[N],v[m/s]) - линейная функция силы трения с

// заданным коэффициентом kT=kT1

function fr_line_1(N[N],v[m/s]) = fr_line(#N,#v,kT1);

// fr_sin(N[N],v[m/s],kT[s/m]) синусоидальная функция силы

// трения в зависимости от коэффициента kT

function fr_sin(N[N],v[m/s],kT[s/m]) =

#kT*#v>=1 ->

k_fr*#N,

k_fr*#N*(1/2+sin(PI*(#v-1/(2*#kT))*#kT)/2);

// fr_sin_1(N[N],v[m/s]) - синусоидальная функция силы трения с

// заданным коэффициентом kT=kT1

function fr_sin_1(N[N],v[m/s]) = fr_sin(#N,#v,kT1);

На рис. 6 изображены графики функции силы трения

, принятой при задании коэффициента трения, и функций силы трения, заданных в приведенном примере (показаны графики при значении полной силы упругой нормальной реакции

Рис. 6. Пример функций силы трения, заданных пользователем

	Для корректной работы силового элемента пользователь должен следить за тем, чтобы контакт точки и поверхности осуществлялся только с наружной стороной поверхности, и чтобы глубина контакта не превышала предельного значения.



На рис. 7 представлена корректная реализация модели взаимодействия точки маятника с поверхностью. Точка на маятнике вступает во взаимодействие с поверхностью с внешней стороны. Возникающая сила контактного взаимодействия противодействует свободному движению маятника и стремится придать ему обратный импульс.

Рис. 7. Корректная реализация модели силового взаимодействия точка-поверхность



На рис. 8 представлена некорректная реализация модели взаимодействия точки маятника с поверхностью. Точка на маятнике вступает во взаимодействие с поверхностью с внутренней стороны. Получается физически нереальная картина. Контактное взаимодействие, минуя фазу сжатия, сразу попадает в фазу восстановления. При упругом взаимодействии в этом случае маятнику передается энергия, которая не была накоплена в фазе сжатия, то есть возникает «ниоткуда».

Рис. 8. Некорректная реализация модели силового взаимодействия точка-поверхность