Погрешности моделирования консольной балки

Исходные данные

В исследовании рассматривается консольно-закрепленная балка сплошного круглого сечения со следующими параметрами:
Диаметр: = 10 мм;
Длина балки: = 1000 мм;
Плотность материала: = 7800 кг/м3;
Модуль упругости материала при растяжении-сжатии: = 2·1011 Па.
Момент инерции сечения относительно оси изгиба: .
Площадь поперечного сечения балки: .

Дискретизация балки

Разбиение балки будем осуществлять путем дискретизации по методу многомассовых систем. Балка, являющаяся телом с распределенными параметрами, моделируется че-рез список абсолютно жестких массовых звеньев (Beam), соединенные безмассовыми упругими элементами с помощью двухузлового упругого элемента (force general) и пользовательским шарниром (joint user), который разрешает поворот звеньев по двум угловым степеням свободы. Характеристики упругости конструкции приводятся к характеристикам силовых элементов, соединяющих звенья. Коэффициент жесткости силового элемента при изгибе в общем случае определяется как обратная величина интеграла податливости балки вдоль ее продольной оси на интервале интегрирования . Будем считать, что в пределах длины секции жесткость постоянна:

,

где – границы интегрирования силового элемента.

Файлы проекта отличаются способом разбиения секций балки:

В cantilever_beam_1.elr балка разбивается на секции одинаковой длины (Рис. 1). В качестве инерциального звена (граничное условие заделки) выступает первая секция.

Рис. 1. Вид многомассовой модели из 4 секций в ПК EULER Проект «MMS_beam_1.elr»

Длина секций , коэффициенты жесткости для первой , регулярной и последней секции определяются следующим образом:

,
,

В cantilever_beam_2.elr балка разбивается аналогично первой модели на секции равной длины . Граничное условие заделки задается как связь между инерциальным звеном (Body) и первым элементом аналогично связи между остальными элементами. (Рис. 2).

Рис. 2. Вид многомассовой модели из 4 секций в ПК EULER. Проект «MMS_beam_2.elr»

Длина секций и коэффициенты жесткости определяются следующим образом:

,
,

В cantilever_beam_3.elr балка разбивается на секции одинаковой жесткости: пер-вый и последний элемент в два раза меньше остальных (Рис. 3). В качестве инерциального звена(граничное условие заделки) выступает первая секция.

Рис. 3. Вид многомассовой модели из 4 секций в ПК EULER. Проект «MMS_beam_3.elr»

Длина первой , регулярной и последней секции , коэффициенты жесткости определяются следующим образом:

.

Модальный анализ

При свободных поперечных колебаниях прогиб балки постоянного поперечного сечения подчиняется уравнению с граничными условиями:

,

где – прогиб балки, – площадь поперечного сечения, – продольная координата, – время (Рис. 4).

Рис. 4. Упругая консольно-закрепленная балка

Решение этого уравнения представляется в виде сходящейся бесконечной суммы собственных функций:

,

где – амплитуды форм колебаний, – формы собственных колебаний, – собственные частоты.

Собственные круговые частоты находятся для данных граничных условий из выражения

,

где – коэффициенты, которые находятся из характеристического трансцендентного уравнения для консольного закрепления:

.

Для расчета модального анализа используется команда исследования «расчет собственных форм и частот» (comNormalModes). Результаты приведены в таблице 1 и на рисунках 5 – 7.

Таблица 1 – результаты модального анализа

Рис. 5 – Зависимость значения первой собственной частоты от числа секций балки

Рис. 6 – Зависимость значения второй собственной частоты от числа секций балки

Рис. 7 – Зависимость значения третьей собственной частоты от числа секций балки

Расчет статического прогиба на торце

Во всех моделях на свободном торце балки приложена сосредоточенная «мертвая» нагрузка = 10 Н. Аналитическое решение для прогиба консольной балки на торце :

мм

Для расчета используется команда исследования «расчет равновесного состояния» (comStaticEqulibrium). На рисунке 8 представлен вид деформированного состояния для 3 модели:

Рис. 8 – Статический прогиб балки

Сводная таблица результатов приведена в таблице 2 и на рисунке 9.

Таблица 2 – результаты расчета равновесного состояния

Рис. 9 – Зависимость значения статического прогиба на свободном торце от числа секций балки

Расчет динамики движения

При работе с ММС необходимо выбирать адекватное число секций. Чем больше число секций, тем меньший шаг интегрирования требуется для расчета динамики движения.

Для третьей модели был проведен расчет динамики движения с разными шагами интегрирования. Максимально допустимое число секций балки и время расчета (относительно времени расчета команды исследования RK4_m3) для данного ша-га. Результаты приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Максимально допустимое число секций при заданном шаге интегрирования

Материалы к статье

RAR cantilever_beam.rar RAR · 304.7 KB Скачать ↓