In this section, we compare the results of mathematical modeling with the EULER software package with the results of analytical solutions. As the samples under investigation, a set of known problems for each student on theoretical mechanics.

Однородная палочка весом Q=m*g длиной 2*l подвешена на двух нитях длиной a и b к неподвижной точке О. Определить натяжения нитей при равновесии.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

a = 3 м, b = 5 м, l = 2 м, m = 10 кг.

Определить динамические реакции подшипников М и N вала, на который насажен однородный круглый диск радиуса R и массой m так, что его плоскость образует с осью вращения угол alpha, если угловая скорость постоянна и равна w, ОМ = a, ON = b.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

R = 0.3 м, m = 1 кг, alpha = 45 град, w = 1 рад/с, a = 0.5 м, b = 0.3 м.

На вертикально поставленный винт надета массивная гайка, имеющая форму полого цилиндра с радиусами r и R. Ей сообщена угловая скорость w такого направления, что гайка начинает подниматься. На какую высоту z поднимется гайка, если шаг винта h, радиус r и трение отсутствует?

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

r = 0.02 м, R = 0.2 м, h = 0.01 м, w = 1000 град/c.

Материальная точка массы m, двигавшаяся прямолинейно по гладкой горизонтальной плоскости (совпадающей с плоскостью рисунка) с постоянной скоростью V₀, в некоторый момент времени (t = 0) касается упругой нити в ее середине и при дальнейшем движении растягивает эту нить. В момент касания скорость V₀ точки перпендикулярна нити. Предварительное натяжение нити пренебрежимо мало и при ее растяжении возникает сила упругости T = c*lambda, где lambda – деформация нити, c = const > 0.

Найти максимальную величину силы натяжения нити.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

m = 1 кг, V₀ = 2 м/c, c = 8 H/м.

Для отделения искусственного спутника Земли массы m от последней ступени ракеты-носителя массы М используется пружинный толкатель, рабочим элементом которого является пружина, коэффициент жесткости которой равен с.

Определить скорость V_r искусственного спутника Земли относительно ракеты-носителя после разделения, если ход штока толкателя равен l и по окончании движения толкателя пружина не напряжена. Разделение происходит в пустоте после окончания работы двигательной установки последней ступени.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

m = 150 кг, M = 1500 кг, c = 10000 H/м, l = 0.2 м, V₀ = 8000 м/c.

Определить период свободных колебаний груза массой m, зажатого между двумя пружинами с коэффициентами жесткости c₁ и c₂.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

m = 10 кг, c₁ = 300 Н/м, c₂ = 500 Н/м

Тело массы m начинает движение в воде на глубине h с вертикальной скоростью V₀ и движется вверх, преодолевая силу R₁ сопротивления воды. Модуль этой силы R₁ = mu₁*V², где V – скорость тела, mu₁ = const > 0. После выхода тела из воды на него в течении Т секунд действует сила F=const, линия действия которой в течении всего отрезка времени наклонена под углом alpha = 30^o к горизонту. Сила сопротивления воздуха силы R₂ = -mu₂*V, где mu₂ = const > 0.

Пренебрегая выталкивающей силой, действующей на тело в воде, найти высоту Н его подъема над поверхностью воды в момент окончания действия силы F, если F=4*m*g, mu₂=0.5*mu₁*V₀, h=m/(2*mu₁)*ln(mu₁*V₀²/(m*g)) и поле сил тяжести однородно.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

m = 10 кг, V₀ = 100 м/c, с = 10 Н/м, alpha = 30 град, mu₁ = 1, T = 0.5 c.

Тело Е, масса которого равна m, находится на шероховатой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен f. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру O₁. Длина недеформированной пружины равна l₀; OO₁ = l. В начальный момент тело Е отклонено от положения равновесия О на конечную величину ОЕ=а и отпущено без начальной скорости.

Определить скорость тела Е в момент прохождения положения равновесия О.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

m = 20 кг, l₀ = 0.3 м, l = 0.5 м, а = 0.4 м, f = 0.15.

Упругая нить, закрепленная в точке A, проходит через неподвижное гладкое кольцо O; к свободному концу ее прикреплен шарик M, масса которого равна m. Длина невытянутой нити l=AO; для удлинения нити на 1 м нужно приложить силу k²*m. Вытянув нить по прямой AB так, что ее длина увеличилась вдвое, сообщили шарику скорость V₀, перпендикулярную прямой AB. Определить траекторию шарика, пренебрегая действием силы тяжести и считая натяжение нити пропорциональным ее удлинению.

При моделировании в EULER необходимо найти координату х центра шарика в тот момент, когда координата y = y₁.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

m = 2 кг, l =1 м, k = 2 1/с, V₀ =1 м/с, y₁ = 0.5 м.

Тяжелый шарик весом P = m*g находится на конце тонкого прута длиной l, могущего вращаться около другого своего конца. Пренебрегая массой прута, определить скорость V, какую приобретет шарик в самой низкой точке, падая с ничтожно малой начальной скоростью из положения неустойчивого равновесия, а также сжимающее и растягивающее усилия в пруте для обоих положениях. Кроме того, определить угол поворота alpha, когда прут не будет испытывать ни растягивающего, ни сжимающего усилия.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

m = 2 кг, l = 0.5 м.

Тело массы m, прикрепленное к концу недеформированной пружины, приводится в прямолинейное поступательное движение по гладкой горизонтальной плоскости с начальной скоростью V₀, направленной по оси пружины. Величина силы упругости пропорциональна деформации пружины lambda, т. е. F = c*lambda, где c = const > 0. Кроме пружины, к телу прикреплен шток с поршнем, помещенным в цилиндр, заполненный жидкостью. При движении поршня возникает сила сопротивления, величина которой R = mu*V², где V – скорость поршня, mu = const > 0.

Найти значение начальной скорости тела, при котором оно остановится, пройдя путь, равный l.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

m = 4 кг, с = 10 Н/м, mu = 2 кг/м, l = 0.1 м.

Крестовина ABCD универсального шарнира Кардана-Гука (AB_|_CD), употребляемого при передаче вращения между пересекающимися осями, вращается вокруг неподвижной точки E. Найти отношение w₁/w₂ для валов, связанных крестовиной в двух случаях:

1) когда плоскость вилки ABF горизонтальна, а плоскость вилки CDG вертикальна;

2) когда плоскость вилки ABF вертикальна, а плоскость вилки CDG ей перпендикулярна.

Угол между осями валов постоянный: alpha = 60^o.

Ползуны А и В одинаковой массы m, шарнирно соединенные однородным стержнем АВ длины l, имеющим также массу m, могут скользить без трения по взаимно перпендикулярным направляющим, расположенным в вертикальной плоскости. В положении A₀ ползуну А сообщается начальная скорость V₀.

Определить, при каком значении начальной скорости стержень достигнет горизонтального положения.

Для решения задачи использовались следующие значения параметров:

m = 10 кг, c₁ = 300 Н/м, c₂ = 500 Н/м.

Бифилярный подвес. Однородный стержень длины 2l и веса P=m*g висит на двух нитях той же длины l так, что может поворачиваться, оставаясь всегда в горизонтальной плоскости. Горизонтальная пара сил с моментом M выводит стержень из начального положения. Определить угол phi отклонения стержня при равновесии.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

l = 0.5 м, m = 1 кг, M = 1 Н*м.

Однородные стержни АВ и ВС веса Р и длины 2*а каждый скреплены шарниром В. Конец А закреплён неподвижным шарниром, а к концу С приложена горизонтальная сила численно равная P/2. Определить углы alpha и beta при равновесии.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

m = 5 кг, а = 0.5 м.

В кулисном механизме при качании кривошипа ОС вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун А, перемещаясь вдоль кривошипа ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К. Расстояние ОК = l. Определить скорость движения ползуна А относительно кривошипа ОС в функции от угловой скорости w и угла поворота phi кривошипа.

Для решения задачи использовать следующие значения параметров:

l = 1 м