6.2 Напряжённо-деформированное состояние (НДС) при изгибе консольной балки

Оценим точность определения НДС в ПК EULER на примере изгиба консольной балки с разными вариантами создания mnf-файла. В данном примере будет исследовано НДС для 3-х одинаковых балок с твердотельными элементами, но при разных вариантах соединения интерфейсного узла к КЭ-сетке: методом «паутина» и методом ограничения перемещений в ANSYS APDL, методом RBE2 Spider в Nastran. Результаты анализа будут сравниваться с аналитическим решением.

Геометрия балки приведена на рис. 6.

Рис. 6. Геометрия балки

Параметры балки, принятые в расчетах:

− L = 1 [m] – длина балки;

− B = 0.04 [m] – ширина балки;

− H = 0.02 [m] – толщина балки;

− E = 200 10⁹ [Pa] – модуль упругости материала;

− mu = 0.3 – коэффициент Пуассона;

− ro = 7800 [kg/m³] – плотность материала балки.

Все балки были сделаны с достаточно мелкой КЭ-сеткой с большим числом элементов, чтобы получить наиболее точные результаты по НДС. Интерфейсные узлы располагаются на торцах балки. При создании балок в ANSYS APDL 18.2 были использованы элементы SOLID185, характерный размер элемента – L/400. При скреплении интерфейсных узлов в первом случае использовался метод «паутина». Так как на торцах было большое число узлов. Во втором случае, при скреплении интерфейсных узла с узлами торцов балки методом ограничения перемещений, все узлы связываются с интерфейсными элементами CERIG, так как зависимые узлы можно легко выбрать по области. В третьем случае КЭ-модель балки создавалась в PATRAN 12 элементами “CTETRA10” с характерным размером L/200. При генерации mnf-файла было запрошено 6 собственных форм. На рис. 7 показан внешний вид КЭ-моделей балок.


а) метод «паутина»	б) метод огрничения пермещений	в) RBE2 «spider»

Рис. 7. Внешний вид КЭ-моделей



Более подробно процедура создания mnf-файла в КЭ-комплексах ANYS APDL и NASTRAN описано в главе «Генерация файлов в КЭ комплесах для ПК EULER». Импорт моделей производился согласно алгоритму, описанному в главе 4 «Импорт редуцированных моделей в ПК EULER» Коэффициент затухания для всех форм задавался равным 0.1.

В модели испытания левый торец балки жестко скреплялся с инерциальным звеном. К свободному торцу плавно прикладывалась вертикальная сила

. В момент, когда балка принимало статичное положение расчет останавливался.

На рис. 8 показаны поля нормальных напряжений по X в области заделки при испытании всех 3-х балок, цветовая легенда для всех моделей одинаковая, а значения на ней указаны в МПа.

Из рис. 8 видно, что поля напряжений в испытаниях всех 3-х моделей похожи между собой.

Определим аналитически максимальные напряжения и деформации вдоль продольной оси стержня при условии малости деформаций.

Максимальные напряжения определяются по формуле:

где

– максимальный момент, находится в заделке;

– момент инерции прямоугольного сечения,

Таким образом,

Максимальные деформации определим из соотношения:

Статический прогиб свободного конца стержня:

а) «паутина»
б) метод ограничения перемещений
в) RBE2 «spider»

Рис. 8. Поля нормальных напряжений по X в области заделки

В таблица 1 сведены результаты моделирования и аналитического расчета по определению максимальных продольных деформаций, продольных напряжений и статического прогиба свободного конца стержня.

Таблица 1. Сводные результаты моделирования изгиба балки

Модель	Количество узлов	Количество элементов	Максимальное нормальное напряжение по X, , [MPa]	Максимальная линейная деформация по X,	Статический прогиб, [mm]
«паутина»	61355	51506	37.912	1.863	5.477
метод ограничения перемещений	61355	51202	38.122	1.874	6.242
RBE2 «spider»	69476	44631	47.906	1.843	6.253
Теоретическое значение	-	-	37.5	1.875	6.25

Из таблицы видно, что модель, созданная в ANSYS при креплении интерфейсных узлов к КЭ-сетки методом «паутины», имеет статический прогиб существенно меньше, чем аналитически полученное значение. Если взглянуть на обобщенные формы, записанные в mnf-файл при создании редуцированной КЭ-модели данным методом, можно обнаружить, что первые 6 форм имеют частоту, существенно отличающиеся от нуля. Напомним, что первые 6 форм должны быть исключены, так как они описывают движение упругого тела как перемещения жесткого тела. А ПК EULER движение упругого тела, как жесткого целого учтены движением ПСК. Ненулевые формы говорят о плохой ортонормализации базиса модального пространства при создании редуцированной КЭ-модели. Это может привести к большим погрешностям при расчетах с такими упругими телами, что и подтверждается данным испытанием. В главе «ПК ANSYS» эта проблема и способы ее устранения описаны более детально. На рис. 9 показаны значения частот первых обобщенных форм.

Рис. 9. Обобщенные формы редуцированной модели упругого стержня

Из таблица 1 можно сделать еще одно важное наблюдение, что максимальные напряжения и максимальные деформации в модели, созданной в PATRAN при закреплении интерфейсных узлов на КЭ-сетке элементами RBE2 «spider». Это связано с методом расчета NASTRAN напряжений и деформаций в узлах КЭ-сетки при записи их в mnf-файл. При таком создании упругого тела в узлах, соединенных элементами RBE2 образуются пиковые напряжения и деформации. Схожая картина получается при создании редуцированной КЭ-модели в ANSYS при скреплении интерфейсного узла с КЭ-сеткой не по всей области, а по отдельным узлам. На рис. 10 показаны примеры при которых могут возникать концентрации напряжений в узлах, связанных с интерфейсным узлом. Слева при формировании КЭ-модели в PATRAN и соединении интерфейсных узлов со всеми узлами на торце стержня элементами RBE2. Справа при формировании КЭ-модели в ANSYS и соединении интерфейсного узла методом «паутина» с некоторыми узлами сетки, на рис. 10 в этих узлах видны концентрации напряжений. Аналогичная картина получается при скреплении элементами CERIG в ANSYS APDL не по всей области (пропуская некоторые узлы).

а) RBE2 «spider» PATRAN б) «паутина» ANSYS

Рис. 10. Примеры возникновения концентраций напряжения в узлах

Модель испытания:

− Samples\bending_the_rod\bending_the_rod.elr

Файлы редуцированных КЭ-моделей:

− rod_ANS_CERIG.mnf – файл, созданный в ANSYS APDL. Интерфейсный узел скреплен с КЭ-сеткой элементами CERIG;

− rod_ANS_spider.mnf – файл, созданный в ANSYS APDL. Интерфейсный узел скреплен с КЭ-сеткой элементами балочными элементами большой жесткости и малой массы;

− rod_NST.mnf – файл, созданный в PATRAN. Интерфейсный узел скреплен с КЭ-сеткой элементами RBE2 «spider»;

Модели упругих тел:

− ANS_CERIG.efb – создан по файлу rod_ANS_CERIG.mnf;

− ANS_spider.efb – создан по файлу rod_ANS_spider.mnf;

− NST.efb – создан по файлу rod_NST.mnf.