5.2.2 Кинетическая энергия, матрица масс, обобщенные силы инерции

С учетом предположения о том, что инерции КЭ модели упругого тела сосредоточена в узлах, запишем соответствующее выражение для полной кинетической энергии:

, (18)

где

– глобальная матрица масс.

В ПК EULER используется только диагональное представление матрицы масс, которое для k-го узла имеет следующий вид:

, (19)

где

– масса k-го узла,

– момент инерции k-го узла.

Далее с учетом уравнения связи (16) выражение для кинетической энергии в терминах обобщенных координат примет следующий вид:

, (20)

где

– обобщенная матрица масс.

После преобразований, а также принимая во внимание структуру блока матрицы масс для k-го узла (19), получим обобщенную матрицу масс в следующем виде:

,

(21)

,

.

В формуле (21) и далее подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу (индексу форм). Как видим матрица масс состоит из 10 основных блоков, структура которых представлена в виде матричных эквивалентов (см. таблица 1).

Таблица 1. Инварианты матрицы масс

Наименование блока	Структура блока	Размер блока	Количество блоков	Объем данных блока
			1	9

			1
			1	9


			1
			1

Суммарный объем данных		++18

В ПК EULER реализовано 4 варианта используемых матриц масс, основанных на общей структуре (21) с индивидуальной настройкой для каждого шаблона упругого тела:

1. Твердое тело – количество форм деформации становится равным нулю, используются блоки

и

, деформируемое тело, становится эквивалентным жесткому телу.

2. Формулировка с постоянными членами – в качестве блоков матрицы масс используются эквиваленты, не зависящие от форм деформации:

,

. Таким образом считается, что положение центра тяжести, а также инерционные характеристики деформируемого тела не меняются с течением времени.

3. Линейно-связанная формулировка – в качестве блоков матрицы масс дополнительно по сравнению с предыдущей формулировкой используются эквиваленты, зависящие от форм деформации линейно:

,

.

4. Полностью связанная формулировка – используются все инварианты для достижения наибольшей точности.

Далее, после подстановки формулы (20) и (21) для расчета кинетической энергии и обобщенной матрицы масс в уравнение Лагранжа (11), можно показать, что:

, (22)